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晴月夢
6 September 2025

討論區

用起來有什麼感覺很差的地方可以丟這。

晴月夢 週六, 2025-09-06 23:23
  1. I can't manage the font size using the interface given
  2. Seems like Markdown is not fully supported
  3. I can't edit my post i.e. if I realize that there's a typo or something, I should delete it and post again 😢.
  4. After I preview the post and go back to the editor, the whole content will (seems to) be deleted and then the preview feature is completely broken.

Date: 2025/09/06

yangcy0726 周日, 2025-09-07 09:36

I fixed some bugs in the forum, including permission issues for editing and the preview page. Remember to save after previewing, or your changes will be lost.

晴月夢 週一, 2025-09-29 11:59

<!doctype html>
<html lang="zh">
<head>
   <meta charset="UTF-8">
   <title>解答 (?)</title>
</head>
<body>
   <p>
       <h1>解題思路</h1><br>
   </p>
   <p>
       先依照定義寫出 $A$，用 row 來看矩陣乘法，照流程直接乘，並依照題目要求表示，第一小題就完成了。<br>
       觀察到這個矩陣和單位矩陣 $I_4 = {[e_{ij}]}_{\begin{aligned}1\le i \le 4 \\ 1\le j\le 4\end{aligned}}, e_{ij} = \begin{cases}0&\text{, if} i\not=j \\ 1&\text{, if} i=j\end{cases}$ 很相似，只是 $1$ 和 $0$ 互換。
       從矩陣的元素來觀察，我們可以構建一個矩陣 $C = {[c_{ij}]}_{\begin{aligned}1\le i \le 4 \\ 1\le j\le 4\end{aligned}}, c_{ij} = 1$，使得 $a_{ij} = c_{ij} - e_{ij}$ i.e. $A = C-I_4$。<br>
       再仔細觀察第一小題，發現 $A^2 = 2C + I_4$，於是可以構建出這樣的等式：$A^2 - 2A - 3I_4 = (2C+I_4) - 2(C-I_4) - 3I_4 = 0$。<br>
       於是就符合了第二小題的第一項要求。<br><br>
       接下來考慮等式 $A^2 - 2A - 3I_4 = 0$，發現除了 $-3I_4$ 以外，每一「項」都有 $A$ 這個「因式」，依照矩陣乘法的性質，以及單位矩陣的性質，可以拆成這兩項：
       <ol type="i">
           <li>$A(A-2I_4)-3I_4=0$</li>
           <li>$(A-2I_4)-3I_4=0$</li>
       </ol><br>
       依照性質化簡就得到 $A{1\over 3}(A-2I) = I_4$ 和 ${1 \over 3}(A-2I)A = I_4$。顯然 $A-2I$ 就是題目所要求的 $A^{-1}$。<br>
   </p>
   <p>
       <h1>答卷</h1><br>
       留下答案給各位點評。
   </p>
   <blockquote>
       <h3>(1)</h3>
       <blockquote>
           By definition, A=0111//1011//1101//1110//.A = \begin{bmatrix}0&1&1&1//1&0&1&1//1&1&0&1//1&1&1&0//\end{bmatrix}.<br>
           Let $A^2$ = [b_{ij}]_{4\times 4}. <br>
           By definition, $$\begin{aligned}
           {_1}\bf{b} &= {_1}\bf{a}A \\
           &= \begin{bmatrix}0&1&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&1&1//1&0&1&1//1&1&0&1//1&1&1&0//\end{bmatrix} \\
           &= 0\begin{bmatrix}0&1&1&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&0&1&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&1&0&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&1&1&0\end{bmatrix} \\
           &= \begin{bmatrix}3&2&2&2\end{bmatrix} \\
           {_2}\bf{b} &= {_2}\bf{a}A \\
           &= \begin{bmatrix}1&0&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&1&1//1&0&1&1//1&1&0&1//1&1&1&0//\end{bmatrix} \\
           &= 1\begin{bmatrix}0&1&1&1\end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix}1&0&1&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&1&0&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&1&1&0\end{bmatrix} \\
           &= \begin{bmatrix}2&3&2&2\end{bmatrix} \\
           {_3}\bf{b} &= {_3}\bf{a}A \\
           &= \begin{bmatrix}1&1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&1&1//1&0&1&1//1&1&0&1//1&1&1&0//\end{bmatrix} \\
           &= 1\begin{bmatrix}0&1&1&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&0&1&1\end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix}1&1&0&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&1&1&0\end{bmatrix} \\
           &= \begin{bmatrix}2&2&3&2\end{bmatrix} \\
           {_4}\bf{b} &= {_4}\bf{a}A \\
           &= \begin{bmatrix}1&1&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&1&1//1&0&1&1//1&1&0&1//1&1&1&0//\end{bmatrix} \\
           &= 1\begin{bmatrix}0&1&1&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&0&1&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&1&0&1\end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix}1&1&1&0\end{bmatrix} \\
           &= \begin{bmatrix}2&2&2&3\end{bmatrix}.\blacksquare \\
           \end{aligned}$$
       </blockquote>
       <h3>(2)</h3>
       <blockquote>
           We observe that $A^2-2A-3I_4 = 0$.
           We observe that there is a polynomial function $f(x) = x^2 - 2x - 3\in\mathbb{R}[x]$ s.t. by definition, $f(A) = A^2 - 2A - 3I_4 = 0$. <br>
           Since $A^2 - 2A - 3I_4 = 0$, <br>
           <ol type="i">
               <li>
                   $\begin{aligned}
                   &A(A-2I_4) - 3I_4 = O \\
                   \Rightarrow& A(A-2I_4) = 3I_4 \\
                   \Rightarrow& {1\over 3}(A(A-2I_4)) = A({1\over 3}(A-2I_4)) = I_4 \\
                   \Rightarrow& \exists B={1\over 3}(A-2I_4), AB = I_4
                   \end{aligned}$
               </li>
               <li>
                   $\begin{aligned}
                   &(A-2I_4)A - 3I_4 = O \\
                   \Rightarrow& (A-2I_4)A = 3I_4 \\
                   \Rightarrow& {1\over 3}((A-2I_4)A) = ({1\over 3}(A-2I_4))A = I_4 \\
                   \Rightarrow& \exists B={1\over 3}(A-2I_4), BA = I_4
                   \end{aligned}$
               </li>
           </ol><br>
           With (i) and (ii), there is a $4\times 4$ matrix $B = {1\over 3}(A-2I_4)$ such that $BA = AB = I$. <br>
           Thus by definition, $A$ is invertible and A-1=13(A-2I4)=-2313131313-2313131313-2313131313-23.▪A^{-1} = {1\over 3}(A-2I_4) = \begin{bmatrix}{-2 \over 3}&{1 \over 3}&{1 \over 3}&{1 \over 3}\\{1 \over 3}&{-2 \over 3}&{1 \over 3}&{1 \over 3}\\{1 \over 3}&{1 \over 3}&{-2 \over 3}&{1 \over 3}\\{1 \over 3}&{1 \over 3}&{1 \over 3}&{-2 \over 3}\end{bmatrix}.\blacksquare
       </blockquote>
   </blockquote>
</body>
</html>

晴月夢 週一, 2025-09-29 12:00

<!doctype html>
<html lang="zh">
<head>
   <meta charset="UTF-8">
   <title>解答 (?)</title>
</head>
<body>
   <p>
       <h1>解題思路</h1><br>
   </p>
   <p>
       先依照定義寫出 $A$，用 row 來看矩陣乘法，照流程直接乘，並依照題目要求表示，第一小題就完成了。<br>
       觀察到這個矩陣和單位矩陣 $I_4 = {[e_{ij}]}_{\begin{aligned}1\le i \le 4 \\ 1\le j\le 4\end{aligned}}, e_{ij} = \begin{cases}0&\text{, if} i\not=j \\ 1&\text{, if} i=j\end{cases}$ 很相似，只是 $1$ 和 $0$ 互換。
       從矩陣的元素來觀察，我們可以構建一個矩陣 $C = {[c_{ij}]}_{\begin{aligned}1\le i \le 4 \\ 1\le j\le 4\end{aligned}}, c_{ij} = 1$，使得 $a_{ij} = c_{ij} - e_{ij}$ i.e. $A = C-I_4$。<br>
       再仔細觀察第一小題，發現 $A^2 = 2C + I_4$，於是可以構建出這樣的等式：$A^2 - 2A - 3I_4 = (2C+I_4) - 2(C-I_4) - 3I_4 = 0$。<br>
       於是就符合了第二小題的第一項要求。<br><br>
       接下來考慮等式 $A^2 - 2A - 3I_4 = 0$，發現除了 $-3I_4$ 以外，每一「項」都有 $A$ 這個「因式」，依照矩陣乘法的性質，以及單位矩陣的性質，可以拆成這兩項：
       <ol type="i">
           <li>$A(A-2I_4)-3I_4=0$</li>
           <li>$(A-2I_4)-3I_4=0$</li>
       </ol><br>
       依照性質化簡就得到 $A{1\over 3}(A-2I) = I_4$ 和 ${1 \over 3}(A-2I)A = I_4$。顯然 $A-2I$ 就是題目所要求的 $A^{-1}$。<br>
   </p>
   <p>
       <h1>答卷</h1><br>
       留下答案給各位點評。
   </p>
   <blockquote>
       <h3>(1)</h3>
       <blockquote>
           By definition, A=0111//1011//1101//1110//.A = \begin{bmatrix}0&1&1&1//1&0&1&1//1&1&0&1//1&1&1&0//\end{bmatrix}.<br>
           Let $A^2$ = [b_{ij}]_{4\times 4}. <br>
           By definition, $$\begin{aligned}
           {_1}\bf{b} &= {_1}\bf{a}A \\
           &= \begin{bmatrix}0&1&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&1&1//1&0&1&1//1&1&0&1//1&1&1&0//\end{bmatrix} \\
           &= 0\begin{bmatrix}0&1&1&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&0&1&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&1&0&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&1&1&0\end{bmatrix} \\
           &= \begin{bmatrix}3&2&2&2\end{bmatrix} \\
           {_2}\bf{b} &= {_2}\bf{a}A \\
           &= \begin{bmatrix}1&0&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&1&1//1&0&1&1//1&1&0&1//1&1&1&0//\end{bmatrix} \\
           &= 1\begin{bmatrix}0&1&1&1\end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix}1&0&1&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&1&0&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&1&1&0\end{bmatrix} \\
           &= \begin{bmatrix}2&3&2&2\end{bmatrix} \\
           {_3}\bf{b} &= {_3}\bf{a}A \\
           &= \begin{bmatrix}1&1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&1&1//1&0&1&1//1&1&0&1//1&1&1&0//\end{bmatrix} \\
           &= 1\begin{bmatrix}0&1&1&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&0&1&1\end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix}1&1&0&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&1&1&0\end{bmatrix} \\
           &= \begin{bmatrix}2&2&3&2\end{bmatrix} \\
           {_4}\bf{b} &= {_4}\bf{a}A \\
           &= \begin{bmatrix}1&1&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&1&1//1&0&1&1//1&1&0&1//1&1&1&0//\end{bmatrix} \\
           &= 1\begin{bmatrix}0&1&1&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&0&1&1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1&1&0&1\end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix}1&1&1&0\end{bmatrix} \\
           &= \begin{bmatrix}2&2&2&3\end{bmatrix}.\blacksquare \\
           \end{aligned}$$
       </blockquote>
       <h3>(2)</h3>
       <blockquote>
           We observe that $A^2-2A-3I_4 = 0$.
           We observe that there is a polynomial function $f(x) = x^2 - 2x - 3\in\mathbb{R}[x]$ s.t. by definition, $f(A) = A^2 - 2A - 3I_4 = 0$. <br>
           Since $A^2 - 2A - 3I_4 = 0$, <br>
           <ol type="i">
               <li>
                   $\begin{aligned}
                   &A(A-2I_4) - 3I_4 = O \\
                   \Rightarrow& A(A-2I_4) = 3I_4 \\
                   \Rightarrow& {1\over 3}(A(A-2I_4)) = A({1\over 3}(A-2I_4)) = I_4 \\
                   \Rightarrow& \exists B={1\over 3}(A-2I_4), AB = I_4
                   \end{aligned}$
               </li>
               <li>
                   $\begin{aligned}
                   &(A-2I_4)A - 3I_4 = O \\
                   \Rightarrow& (A-2I_4)A = 3I_4 \\
                   \Rightarrow& {1\over 3}((A-2I_4)A) = ({1\over 3}(A-2I_4))A = I_4 \\
                   \Rightarrow& \exists B={1\over 3}(A-2I_4), BA = I_4
                   \end{aligned}$
               </li>
           </ol><br>
           With (i) and (ii), there is a $4\times 4$ matrix $B = {1\over 3}(A-2I_4)$ such that $BA = AB = I$. <br>
           Thus by definition, $A$ is invertible and A-1=13(A-2I4)=-2313131313-2313131313-2313131313-23.▪A^{-1} = {1\over 3}(A-2I_4) = \begin{bmatrix}{-2 \over 3}&{1 \over 3}&{1 \over 3}&{1 \over 3}\\{1 \over 3}&{-2 \over 3}&{1 \over 3}&{1 \over 3}\\{1 \over 3}&{1 \over 3}&{-2 \over 3}&{1 \over 3}\\{1 \over 3}&{1 \over 3}&{1 \over 3}&{-2 \over 3}\end{bmatrix}.\blacksquare
       </blockquote>
   </blockquote>
</body>
</html>

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